(groupes ciblés : première et terminale S)
les thèmes abordés dans cette page
fonctions
numériques dérivables en un point
(1ère et terminale S)
les
asymptotes
(groupe ciblé : première S)
asymptote oblique
(C)
est la courbe représentative de f dans le repère orthonormal (x’ox) ;
La
droite (d) a pour équation y = ax + b
On
considère une droite (D) parallèle à l’axe y’y coupant l’axe (x’x),
(d) et (C) respectivement en h, m et n.
On
considère la quantité algébrique :
(d)
est asymptote à (C) si et seulement si la limite de cette quantité algébrique
tend vers 0 lorsque x tend
vers + ou – l’infini.
Divisons
cette quantité par x (la division est possible, puisque x tendant vers
l’infini est différent de 0) ; on obtient la
quadruple égalité (1) :
Formons
l’expression f(x) – ax ; on obtient l'égalité (2) :
Dans la quadruple égalité (1) ci-dessus, la limite du 1er membre lorsque x tend vers l’infini est 0 ; donc le dernier membre tend également vers 0 ; mais aussi la fraction :
Dans
la deuxième égalité (2) ci-dessus, la limite de
[f(x) – (ax + b)] étant 0 lorsque x tend vers l’infini, la limite de [f(x) – ax] lorsque x tend
vers l’infini est b.
Conclusion :
(d) est asymptote à (C) si et seulement si , x tendant vers + ou – l’infini, la limite « a » de l'expression :
existe et est finie.
ET
la limite « b »
de l'expression :
[f(x) – ax]
existe et est finie.
Exemple : f est définie sur R- {1} par :
et on obtient :
Au numérateur comme au dénominateur, on met la plus grande puissance de x en facteur ; on obtient :
On
peut simplifier par x2 puisque
x tendant vers l’infini est différent de 0 et on obtient :
et le passage à la limite donne 1 puisque les deux fractions :
Formons
l'expression f(x) – ax ; on a :
et en mettant au même dénominateur on obtient :
Au numérateur comme au dénominateur, on met la plus grande puissance de x en facteur ; on obtient :
On
peut simplifier par x puisque
x tendant vers l’infini est différent de 0 et on obtient :
et le passage à la limite donne 1 puisque les deux fractions :
Ainsi
la limite de [f(x) – x] lorsque x tend vers + ou – l’infini est égale
à 1
Conclusion :
(C) admet une asymptote oblique qui est la droite d’équation y = 1.x +
1 ou
NB
:
1-
Souvent, dans des problèmes, on te demandera d’étudier la position de la
courbe (C) par rapport à son asymptote (au-dessus ou en dessous) ;
dans ce cas, c’est le signe de la quantité :
qu’il
faudra étudier ; ainsi :
si
[f(x) – (ax + b) ] est strictement positif à l’infini , (C) est au-dessus
de son asymptote,
si
[f(x) – (ax + b) ] est strictement négatif à l’infini , (C) est en
- dessous de son asymptote.
2-
(C) peut dans certains cas de problème couper son asymptote en un point x0
fini de son domaine de définition ; ceci ne change rien au fait que
(C) admet une asymptote car l’existence de cette dernière est étudiée
« à l’infini »
3-
Méthodologie pour la recherche de l’asymptote oblique
On forme d’abord l’expression :
puis on calcule sa limite lorsque x tend vers l’infini.
Si cette limite a existe et
est finie, alors on poursuit notre
recherche en formant l’expression [f(x) – ax] et en calculant sa limite b
lorsque x tend vers l’infini.
Si également cette limite b existe et
est finie, alors on conclut que (C)
admet pour asymptote oblique la droite d’équation
y = ax + b.
Si
durant cette recherche l’une au moins a et b n’existe pas ou
est égale à l’infini, alors (C) n’admet pas d’asymptote oblique.
Au
voisinage de l’infini,
la courbe (C) sera au-dessus de son asymptote oblique si et seulement
si la quantité f(x) – [ax + b] est strictement positive. Elle
sera en-dessous de son asymptote si et seulement si la
quantité f(x) – [ax + b] est strictement négative.
Asymptote
verticale
On
dira que (C) admet une asymptote verticale d’équation
x = a (a
réel fini), si et seulement si la
limite de f lorsque x tend vers a est égale à
+ ou – l’infini.
Asymptote
horizontale
On
dira que (C) admet une asymptote horizontale d’équation y = b (b réel fini), si et seulement si
la limite de f lorsque x tend vers + ou – l’infini est égale
à b.
NB :
On
a considéré dans tout ce qui précède que f était représentée
graphiquement dans un repère orthonormé ; il faut savoir que
toutes
les conclusions obtenues restent vraies dans un
repère quelconque
fonctions
numériques dérivables en un point
(groupes ciblés : première et
terminale S)
Rappel de cours
1-
Limite à gauche et limite à droite d’une fonction numérique
Soit
un réel fini fixé x0 .
On
dira que la variable réelle x tend vers x0 par valeurs inférieures
et on écrit :
lorsque x tend vers x0 en
restant strictement inférieure à x0 .
On
dira que la variable réelle x tend vers x0 par valeurs supérieures
et on écrit :
lorsque x tend vers x0 en restant strictement
supérieure à x0 .
Soit une fonction numérique f définie au point x0 .
Par définition, la limite à gauche de la fonction f lorsque x tend vers
x0 par valeurs inférieures est le réel l tel que :
La limite à droite de la fonction f lorsque x tend vers x0
par valeurs supérieures est le réel l’ tel que :
On dira que f est continue au point x0 lorsque l = l’ = f (x0).
2-
Fonction dérivable en un point et dérivée
Soit
une fonction numérique f définie au point x0 .
On dira que f est dérivable à gauche au point x0
si et seulement si :
On
dira que f est dérivable à droite au point x0
si et seulement si :
La
fonction f est dérivable au point x0
si et seulement si elle est dérivable à gauche et à
droite au point x0 et ses deux dérivées sont égales.
Ceci
signifie que l’on a :
3-
Remarques
3-1
Ainsi
f est dérivable au point x0 si et seulement si :
Ainsi
utiliser l’une ou l’autre expression dans la recherche de la dérivée
revient au même.
3-2
Si
f est dérivable au point x0 , alors f est continue en ce point ;
mais la réciproque n’est pas vraie.
Ainsi
pour démontrer qu’une fonction numérique est continue en un point, il
suffit de démontrer qu’elle est dérivable en ce point ; cet énoncé
est souvent utile dans les problèmes.
Mais attention, la réciproque n’est pas vraie : une fonction peut être continue en un point sans pour autant être dérivable en ce même point.
Applications
1)
Montrer
que f est dérivable en 2 et calculer f '(2).
2)
Montrer
que g est dérivable en 1 et calculer g '(1).
3)
Montrer que u
est dérivable en -3 et calculer u '(-3).
Solutions
1)
Mais h tendant vers 0 reste donc différent de 0 et on peut simplifier par h et ainsi :
f
est donc dérivable à gauche au point 2.
Mais h tendant vers 0 reste donc différent de 0 et on peut simplifier par h et ainsi :
f
est donc dérivable à droite au point 2.
De
plus ces deux limites sont égales à -1.
Conclusion : f est dérivable au point 2 et sa valeur est f ’(2) = -1 .
2)
Lorsque
h tend vers 0 cette fraction prend la forme indéterminée :
Pour lever l’indétermination, multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur; il vient :
Mais
h tendant vers 0, reste différent de 0 et on peut simplifier par h :
Ainsi,
Conclusion : g est dérivable à gauche au point 1.
Lorsque
h tend vers 0 cette fraction prend la forme indéterminée :
Pour lever l’indétermination, multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur; il vient :
Mais
h tendant vers 0, reste différent de 0 et on peut simplifier par h :
Ainsi,
Conclusion :
g est dérivable à droite au point 1.
3)
Je
te laisse montrer que u est dérivable au point -3.
Tu dois trouver u’(-3)=135.
Autres applications
a-
Montre
que la fonction w définie sur R par :
Tu dois trouver les résultats suivants :
b-
g
est-elle continue au point 1 ?
g
est-elle dérivable au point 1 ?
Trace
dans un repère orthonormal la courbe représentative Cg de g.
Tu
dois trouver comme résultats :
g
n’est ni continue, ni dérivable au point 1.
Construction de Cg :
c-
h
est-elle continue au point 1 ?
h
est-elle dérivable au point 1 ?
Trace
dans un repère orthonormé la courbe représentative Ch de h.
Tu dois trouver comme résultat :
h
est continue et non dérivable au point 1
Quant
à Ch, je te laisse la tracer.
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