L'EXERCICE
POUR LA SECONDE ET LA PREMIERE S
(page 1)
les
thèmes abordés dans cette page
équation de la droite; homothétie et géométrie dans
l'espace
(2de)
encadrement de réels
(2de)
fonctions numériques; équations et barycentre
(1ère S)
un
peu de Descartes, d'homothétie et d'espace
(groupe
ciblé : seconde)
Première
partie
Dans le plan rapporté à un repère
orthonormé (O, i, j), on considère les points M (- 3 ; 2),
N (-1 ; -1), P (3 ; 3).
On te propose de calculer les coordonnées du
centre I du cercle circonscrit au triangle (MNP).
1) Donne les coordonnées du milieu B' de [MP]. Trouve une équation de la médiatrice
de [MP].
2)
Utilise la même méthode pour trouver une équation de la médiatrice de [MN].
3) Calcule les
coordonnées du point I, centre du cercle circonscrit à (MNP).
4) Calculer le rayon de ce cercle.
Deuxième
partie
Dans
un plan on te donne un triangle (ABC).
Soient
respectivement H, G et M, son orthocentre, son centre de gravité et le centre
de son cercle circonscrit.
Montre,
en utilisant une homothétie, que ces trois points sont alignés.
A titre d'exemple, utilise les données de la première partie, en procédant par la géométrie analytique, pour montrer que cette propriété est vérifiée par le triangle (MNP).
Troisième
partie
On
considère dans un plan P, un cercle (C) de diamètre [AB]. Soient M un point quelconque de (C) et S un point de la droite (d) perpendiculaire en A à P.
On mène de A les droites perpendiculaires (AE) et (AF) à (SB) et (SM)
respectivement.
1 - Montre que (BM) est orthogonale à (SM);
2
- Montre que (AF) et (SE) sont respectivement orthogonales aux plans (SEF) et
(AEF);
3
- Quel est l'ensemble des points F lorsque M décrit (C) ?
4 - Quel est l'ensemble des points F lorsque, M restant fixe, le point S décrit (d) ?
Recommandations
Première
partie
Dans
cette partie, la seule difficulté est le calcul du rayon du cercle circonscrit
au triangle (MNP).
Il suffit pour cela de calculer l'expression R2 = IA2 en utilisant la formule :
Deuxième
partie
La
seule difficulté réside dans la recherche de l'homothétie.
Nous trouvons les homothétiques des sommets du triangle (ABC), de ses trois hauteurs, ainsi que de H.
Solution
Troisième partie
Rappel :
Dans l'espace, pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan (cette droite
étant extérieure à ce plan), il faut et il suffit qu'elle soit
perpendiculaire à deux droites concourantes de ce plan.
1
- Montrons que (BM) est orthogonale à (SM).
(BM)
est orthogonale à (AM) car, dans le plan (P), M appartient au demi-cercle de
diamètre [AB].
(AS) étant orthogonale à (P), est orthogonale à toute droite de (P) et en
particulier à (BM).
D'où (BM) étant orthogonale aux deux droites concourantes (AS) et (AM) du plan
(ASM), est orthogonale à ce dernier.
Ainsi (BM) étant orthogonale au plan (ASM), est orthogonale à toute droite de
ce plan et en particulier à (SM).
2
- Montrons que (AF) et (SE) sont respectivement orthogonales aux plans (SEF) et
(AEF).
(BM)
étant orthogonale au plan (ASM), elle sera orthogonale à (AF) contenue dans ce
plan.
(AF) est orthogonale à (SM) par hypothèse.
Ainsi (AF) étant orthogonale à (SM) et à (BM), deux droites concourantes du
plan (SBM) ou (SFE), sera orthogonale à ce plan.
(SE)
est orthogonale à (AE) par hypothèse.
Mais (AF) étant orthogonale à (SFE), sera orthogonale à toute droite de ce
plan et en particulier à (SE).
Donc (SE) étant orthogonale à deux droites concourantes (AE) et (AF) du plan
(AEF), sera orthogonale à ce plan.
3
- Trouvons l'ensemble des points F lorsque M décrit (C).
A,
S et B étant fixes, la perpendiculaire (AE) à (SB) fixe est fixe.
Le plan (AEF) passant par le point fixe E et orthogonale à (SE) ou (SB) fixe
est fixe.
Ainsi, dans le plan fixe (AEF), A et E sont fixes et l'angle au sommet F du
triangle (AFE) est droit, puisque (AF) orthogonale à (SFE),
sera orthogonale à toute
droite de ce plan et en particulier à (FE).
L' ensemble de points F lorsque M décrit (C)
sera donc
le cercle du plan fixe (AEF) de diamètre fixe [AE].
4
- Trouvons l'ensemble des points F lorsque, M restant fixe,
le point S décrit
(d).
A,
M et la droite (d) étant fixes, le plan [M ; (d)] est fixe.
Mais dans ce plan fixe, (AF) est orthogonale à (SF) ou (FM)
par hypothèse.
Donc l'angle au sommet F du triangle (AFM) étant droit,
avec A et M fixes,
l'ensemble des points F est un demi-cercle appartenant au plan fixe [M ; (d)] de diamètre
fixe [AM].
encadrement
de réels
(groupe ciblé : seconde)
Soient
et
Quel est le nombre le plus proche de 1?
Solution
Soit x réel strictement
positif et considérons les quantités :
et son inverse qui est égal
à :
x > 0 implique que 1 + x
> x et ainsi on a :
Donc sur un axe orienté on obtient:
L’écart entre 1 et
l'inverse de a est :
L’écart entre a et 1 est
Mais x > 0 implique que
d’où d < D et ainsi on a
l'inverse de a plus proche de 1 que a et ceci reste vrai pour x = 1050
fonctions
numériques, équations
et barycentre
(groupe ciblé
: première S)
Première
partie
Soit f la
fonction numérique de la variable réelle x définie
par :
Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé
1)
Étudie les variations de f. Dresse le tableau correspondant.
Tu préciseras les équations des asymptotes de (C).
2) Détermine les coordonnées du point d'intersection I de (C) avec l'axe des abscisses.
3)
Donne l'équation de la tangente (T) à (C) au point I.
Étudie les positions relatives de la courbe et de cette tangente sur
l'intervalle ]-3 ; 1[.
5)
Discute graphiquement, suivant les valeurs du réel m, le nombre et le signe des
solutions de l'équation :
mx²
+ 2(m - l)x - (3m + 2) = 0.
6)
Discute graphiquement, suivant les valeurs du réel h, le nombre et le signe des
solutions de l'équation :
Deuxième
partie
On
te donne un tétraèdre (SABC) de l'espace.
G désigne le barycentre des points pondérés (S, -1); (A, 1); (B, 1) et (C,
1).
1-
a) Montre que le barycentre M des points pondérés (S, -1); (A, 1) et (C, 1)
est le point tel que (SAMC) est un parallélogramme.
b) Montre que G est le milieu de [BM].
2-
soient N et P les points tels que (SANB) et (SBPC) sont des parallélogrammes.
Montre que G est le milieu de [CN] et de [AP].
3-
Soit F le centre de gravité du triangle (ABC).
Montre que les points S, F et G sont alignés.
Solutions
Première
partie
1)
Étudions les variations de f.
Nous préciserons les équations des asymptotes de (C).
Le tableau de variation de f ne sera pas établi dans cette solution, du fait de
la facilité de son établissement.
Déterminons
d'abord le domaine de f noté Dom (f).
Le dénominateur étant x² + 2x - 3, il devra être différent de 0.
L'équation x² + 2x - 3 = 0 admet pour racines 1 et -3. Donc Dom (f) = R -
{-3 ; 1}.
Calculons
les limites de f lorsque x tend :
vers l'infini,
vers -3,
vers 1.
Ainsi
nous avons :
Ainsi
la courbe (C) représentative de f admet l'axe des abscisses comme asymptote
horizontale.
(x
+ 3) est strictement positif pour x strictement supérieur à -3; donc la limite
de (x + 3) lorsque x tend vers -3+ est 0+ .
Le dénominateur tend vers 0- puisque (x – 1) tend vers -4.
Quant au numérateur (2x + 2), il tend vers -4.
D’où finalement :
Ainsi
la courbe (C) représentative de f admet la droite x = -3 comme asymptote
verticale.
Avec
la méthode que ci-dessus, on peut montrer les résultats qui suivent
et
Donc
(C) admet une seconde asymptote verticale qui est la droite d'équation
x = 1.
Le
passage à la dérivée première et l'étude de son signe donneront les résultats
suivants :
f '(x) est strictement négative pour tout x appartenant à Dom (f). D'où f est
strictement décroissante sur son domaine de définition.
Étudions
le signe de cette quantité sur ]-3 ; 1[.
2(x - 1)(x + 3) est de signe contraire à son a = 2 pour les valeurs réelles
strictement comprises entre ses racines -3 et 1. Donc sur ]-3 ; 1[, [2(x -
1)(x + 3)] est strictement négative.
(x + 1)3 < 0 pour -3 < x < -1 ; (x + 1)3 = 0 pour
x = -1 ; (x + 1)3 > 0 pour -1 < x < 1.
D'où finalement :
f(x) - [-0,5(x + 1)] > 0 sur ]-3 ; -1[; (C) est située
au-dessus de sa tangente.
f(x) - [-0,5(x + 1)] < 0 sur ]-1 ; 1[; (C) est située en -dessous de sa
tangente.
4)
Je te laisse le soin de tracer dans le repère (C) et (T).
5)
En
isolant m, l'équation mx² + 2(m - l)x - (3m + 2) = 0 peut
s'écrire m = f (x).
Traçons dans le repère la droite (d) d'équation y = m. Lorsque m varie dans R,
(d) se déplace dans le plan du repère en restant parallèle à l'axe des
abscisses. Cette propriété de (d) nous permet de résoudre graphiquement l'équation
(Q) : mx² + 2(m - l)x - (3m + 2) = 0.
Ainsi
nous obtenons les résultats suivants :
pour
m < 0, Q admet deux racines distinctes x' et x" telles que, en supposant
|x'| < |x''|,
x' < -3 < x" < 1.
pour
m = 0, Q se réduit à l'équation du 1er degré -2x -2 = 0 et sa racine est x =
-1;
pour
m > 0, Q admet deux racines distinctes x' et x" telles que, en supposant
|x'| < |x''|,
-3 < x' < 1 < x".
Solution
Deuxième
partie -1-
On
nous donne un tétraèdre (SABC) de l'espace.
G désigne le barycentre des points pondérés (S, -1); (A, 1); (B, 1) et (C,
1).
a) Montrons que le barycentre M des points pondérés (S, -1); (A, 1) et (C, 1)
est le point tel que (SAMC) est un parallélogramme.
En
effet M existe puisque -1 + 1 + 1 = 1 qui est différent de 0.
M étant barycentre des points pondérés (S, -1); (A, 1) et (C, 1), nous avons
la relation vectorielle :
b) Montrons que
G est le milieu de [BM].
G
étant barycentre des points pondérés (S, -1); (A, 1); (B, 1) et (C, 1) et M
étant barycentre des points pondérés (S, -1); (A, 1) et (C, 1), par
application de l'associativité du barycentre, nous obtenons le résultat :
G
barycentre des points pondérés (M, 1) et (B, 1), d'où la relation vectorielle
:
Ainsi G est milieu de [BM].
2-
Je
te laisse le soin de traiter cette partie qui ne présente pas de difficulté.
Recommandation
Deuxième
partie -3-
Cette
partie se traite par application de l'associativité du barycentre.
page 2 page 3 page 4 page 5 page 6