L'ATELIER
DU COLLEGIEN
(page 3)
(groupe ciblé : troisième)
le thème abordé dans cette page
résolution des équations, de degré supérieur à 1 par rapport à l'inconnue, en utilisant les identités remarquables et par le procédé de factorisation
1- Rappel de cours
Les
identités remarquables souvent utilisées en vue de résoudre des équations
dont le degré est supérieur ou égal 2, sont :
2- Utilisation
des carrés d’une somme et d’une différence
Il
suffit de constater que l’un des membres de l’équation est de la forme :
Exemples :
On peut
d’abord mettre 3 en facteur et il vient :
3- Utilisation de la différence de carrés
Il
suffit de constater que l’un des membres de l’équation est de la forme :
Exemples :
Rassemblons
tous les termes dans le premier membre ; il vient :
Le
premier membre est de la forme :
Nous
avons donc :
L’équation
s’écrit donc :
Pour
qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces
facteurs le soit ; donc :
L’équation
admet donc pour ensemble de solutions :
Rassemblons tous les termes dans le premier membre ; il vient :
Le
premier membre est de la forme :
Nous
avons donc :
L’équation
s’écrit donc :
Pour
qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces
facteurs le soit ; donc :
L’équation
admet donc pour ensemble de solutions :
Le premier membre est le carré d’une fraction dont le dénominateur
(y + 1) doit
être différent de 0.
L’équation
n’a donc de sens que si :
Il faut
donc rechercher les solutions de l’équation dans :
Rassemblons
tous les termes dans le premier membre ; il vient :
Le
premier membre est de la forme :
Nous
avons donc :
L’équation
s’écrit donc :
Pour
qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces
facteurs le soit ; donc :
Le dénominateur
d’une fraction étant différent de 0, cette fraction s’annule lorsque le
numérateur est égal à 0.
Donc,
nous avons :
Ces
deux valeurs de y sont toutes deux acceptables car elles sont différentes
L’ensemble des solutions de l’équation est donc :
4-
Comment ramener une équation du second degré à une équation dont un
membre est un produit de facteurs contenant au moins un du premier degré
D’abord
une remarque importante :
Soit
maintenant à résoudre l’équation :
a
étant différent de 0, divisons les deux membres de l’équation par a ;
il vient :
Considérons
maintenant le carré de la somme :
Nous
avons :
Cette
dernière peut également s’écrire :
Cette
dernière est donc de la forme :
Mais
nous avons :
Nous
avons donc :
Ainsi,
Finalement
l’équation s’écrit :
Pour
qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces
facteurs le soit ; donc :
est logiquement équivalent à :
Étudions enfin le cas où A = 0. Nous avons donc :
L’équation
s’écrit alors :
Conclusion
générale :
Exemples
Nous
avons :
Divisons
les deux membres de l’équation par 3 ; il vient :
L’équation s’écrit donc :
Pour
qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces
facteurs le soit ; donc :
Nous
avons :
L’équation
s’écrit donc :
Donc
l’équation s’écrit :
Pour
qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces
facteurs le soit ; donc :
L’ensemble
des solutions dans R de l’équation est donc :
Nous avons :
Donc nous avons :
L’équation s’écrit alors :
Il
suffit de constater que :
ou
Exemples
Le
premier membre de l’équation est de la forme :
Nous
savons que :
L’équation
s’écrit donc :
Pour
qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces
facteurs le soit ; donc :
Une
des solutions de l’équation est donc 3.
Étudions l’équation :
Nous
savons que :
Conclusion :
Cette
équation peut s’écrire :
Elle
est donc de la forme :
Nous
avons donc :
Nous
savons que :
Nous
avons :
Conclusion :
Cette
équation peut s’écrire :
Elle
est donc de la forme :
Nous
avons donc :
Nous
avons :
Conclusion :
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